Tolygusis briaunainis

Tolygusis briaunainis – toks briaunainis, kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai ir kurio viršūnės yra tranzityvios (t. y. viršūnių kampai yra lygūs ir šis briaunainis yra izogonas). Tolygaus briaunainio visos viršūnės yra tolygios (tapačios), o pats briaunainis pasižymi didelio laipsnio atspindėjimo ir sukimo simetrija.

Tolygieji briaunainiai gali būti taisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios sienos ir briaunos), kvazitaisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios) ir pustaisyklingiai (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios). Šių briaunainių sienos ir viršūnės gali būti ir neiškilos, tad daug tolygiųjų briaunainių yra žvaigždiniai.

Atmetus begalines prizminių briaunainių klases, suskaičiuosime 75 tolygiuosius briaunainius (arba 76, jei įskaičiuosime Skilingo figūrą).

• Iškilieji:
  • 5 Platono kūnai – taisyklingieji iškili briaunainiai;
  • 13 Archimedo kūnų – 2 kvazitaisyklingieji ir 11 pustaisyklingių iškilių briaunainių.
• Žvaigždiniai:
  • 4 Keplerio-Puanso kūnai – taisyklingi neiškili briaunainiai;
  • 53 tolygūs žvaigždiniai braiunainiai – 5 kvazitaisyklingieji ir 48 pustaisyklingiai;
  • 1 žvaigždinis briaunainis, turintis sutampančių briaunų poras, geometriškai vadinamas didžiuoju dinusklembtu dirombiniu dodekaedru, kurį atrado Džonas Skilingas (John Skilling), todėl neretai jis svadinamas tiesiog Skilingo figūra.

Greta šios suskaičiuojamos aibės dar yra dvi begalinės briaunainių klasės – prizmės ir antiprizmės, apimančios prizmines iškilas ir žvaigždines formas.

Tolygiųjų briaunainių dualai turi tranzityvias sienas (yra izoedrai) ir jų viršūnės planas yra taisyklingas daugiakampis. Įprastai klasifikuojant, dualūs briaunainiai gretinami su jų pirminiais tolygiaisiais briaunainiais. Taisyklingųjų briaunainių dualai taip pat yra taisyklingieji, o Archimedo kūnų – Katalano kūnai.

Tolygieji briaunainiai yra atskiras trimatis tolygiųjų politopų atvejis. Tolygiųjų politopų teorija apibendrina tolygiąsias figūras ne vien trimatei bet ir kitų matavimų erdvėms: tiek aukštesnio matavimo (keturmatei ir aukštesnei), tiek žemesnėms (dvimatei, vienmatei ir pan.). Trimačių tolygiųjų briaunainių nagrinėjimas leidžia akivaizdžiai pažvelgti į tolygiųjų politopų savybes žmogui lengvai suvokiamoje trimatėje erdvėje.